微分積分例

$f (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.3.2

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 1.3.3

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.3.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 6

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 8.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 8.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 9

方程式 $2 x = 0$ に対する解です。

$x = 0, \frac{π}{2}$

ステップ 10

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (0))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (0)$

ステップ 11.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 13

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sin^{2} (0)$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 0^{2}$

ステップ 13.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 14

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 15.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.1

共通因数を約分します。

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 15.1.2

式を書き換えます。

$2 \cos (π)$

ステップ 15.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \cos (0))$

ステップ 15.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 15.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1$

ステップ 15.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 16

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 17

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

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ステップ 17.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

ステップ 17.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

ステップ 17.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 18

$f (x) = \sin^{2} (x)$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(\frac{π}{2}, 1)$ は極大値です

ステップ 19

微分積分 例

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