微分積分例

$\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

ステップ 1

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.1

$4$ と $6 + 2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x}}]$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x}}]$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)}}]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 3 + 2 (x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

ステップ 1.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

ステップ 1.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}$ を ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3.2.3

$2$ を $2 \cdot 3 + 2 (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 2.3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 7

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

ステップ 7.3

項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 7.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 7.3.2.2

式を書き換えます。

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 7.3.3

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

ステップ 8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.2

$2$ を $3 + x$ の左に移動させます。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.3

総和則では、 $3 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 9.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.2

積の法則を $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.3

積の法則を $2 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.5

分配則を当てはめます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6

項をまとめます。

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ステップ 10.6.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.2

簡約します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.8

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.9

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ に $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

ステップ 10.6.10

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.11

指数を足して ${(3 + x)}^{2}$ に ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.6.11.1

${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

ステップ 10.6.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

ステップ 10.6.11.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 10.6.11.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 10.6.11.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 10.6.11.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.11.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

ステップ 10.6.11.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.7

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.8

$x$ を $x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 10.8.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.8.2

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.8.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.9

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.10

式を書き換えます。

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例