微分積分例

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.2

$- 6$ と $7$ をたし算します。

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.4

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

ステップ 1.3.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 1.3.1.4

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 1.3.1.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

ステップ 1.3.3.1.2.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

ステップ 1.3.3.2

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

ステップ 1.3.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (2 x + 7)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 7$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 7$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{2 x + 7}$ と $4$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $2 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.9

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.10

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.11

$\frac{4}{2 x + 7}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.12

$4$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.13

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \tan (- 6 - 2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

ステップ 3.14

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = - 6 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 6 - 2 x$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

ステップ 3.14.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

ステップ 3.14.3

$u$ のすべての発生を $- 6 - 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

ステップ 3.15

括弧を削除します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

ステップ 3.16

総和則では、 $- 6 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

ステップ 3.17

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

ステップ 3.18

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.19

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.20

$- 2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.21

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

ステップ 3.22

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{8}{2 x + 7}$ に $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

ステップ 5.2

$8$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

ステップ 6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

ステップ 7

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 8

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 9

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 10

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 11

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 12

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 13

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

ステップ 14

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

ステップ 15

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

ステップ 16

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 17

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 18

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

ステップ 19

すべての $x$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

ステップ 19.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

ステップ 20

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

ステップ 20.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2.2

$- 6$ と $7$ をたし算します。

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2.3

$\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.4.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2.4.2

$- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

ステップ 20.2.4.2.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

ステップ 20.2.5

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

ステップ 20.2.6

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

ステップ 20.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (- \frac{1}{1})$

ステップ 20.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.3.1

共通因数を約分します。

$2 (- \frac{1}{1})$

ステップ 20.3.2

式を書き換えます。

$2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 20.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1$

ステップ 20.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

微分積分例