微分積分例

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

ステップ 2

$u = x + 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x + 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 2.1.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

ステップ 3

$(u - 6) u^{2}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

ステップ 3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

ステップ 6

$- 6$ は $u$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

ステップ 8

簡約します。

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 6$ で置き換えます。

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

微分積分 例

微分積分例