微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

$lim_{h \to 0} x + h = x$ なので、 $t$ を $x + h$ に代入し、 $t$ が $x$ に近づくようにします。

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\arctan (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.6

$\arctan (x)$ から $\arctan (x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (h) = \arctan (h)$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.6

$\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$- \arctan (x)$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \arctan (x)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

ステップ 1.5

$\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 2.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 2.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

ステップ 4

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例