微分積分例

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a + \frac{b}{x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $a + \frac{b}{x^{2}}$ で置き換えます。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $a + \frac{b}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ です。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

ステップ 2.2

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ をたし算します。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

ステップ 2.4

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{b}{x^{2}}$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 2.5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

ステップ 2.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

ステップ 2.5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

ステップ 2.6

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

ステップ 2.7

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$b$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

ステップ 3.2.2

$\frac{b}{x^{3}}$ と $- 6$ をまとめます。

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

ステップ 3.2.3

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ と ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ をまとめます。

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.2.4

$- 6$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$a$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.3

積の法則を $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ に当てはめます。

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.4

指数をまとめます。

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ステップ 3.3.4.1

$6$ と $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.4.2

$b$ と $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.5

不要な括弧を削除します。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.6

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

ステップ 3.3.7

$6$ を $b$ の左に移動させます。

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 3.5

まとめる。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

ステップ 3.6

指数を足して $x^{4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

ステップ 3.6.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

ステップ 3.7

$6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$

微分積分 例

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