微分積分例

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ を $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

ステップ 1.1.2

$x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

ステップ 1.1.3

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

ステップ 1.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

ステップ 1.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

ステップ 3

$(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.5

簡約します。

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.7

$2$ から $2$ を引きます。

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 3.10

$2$ を移動させます。

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

微分積分 例

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