微分積分例

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

ステップ 2

$u = 4 x + 3$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.2

$\frac{u}{4}$ に $\frac{u^{2}}{4}$ をかけます。

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.3

$u$ を $1$ 乗します。

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.6

$4$ に $4$ をかけます。

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4.7

$- \frac{3}{4}$ と $\frac{u^{2}}{4}$ をまとめます。

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

ステップ 4.8

$4$ に $4$ をかけます。

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

ステップ 6

$\frac{1}{16}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

ステップ 10

$\frac{3}{16}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{3}{16}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

ステップ 12.2

簡約します。

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $4 x + 3$ で置き換えます。

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$

微分積分 例

微分積分例