微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

ステップ 1.2

$- 5$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

ステップ 2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 2.2

$\frac{- 5 - 5 x}{x}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2.1.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.2.3.2

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.4

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.4.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.4.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

ステップ 3.1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.5.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.5.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $- 5 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.5

$0$ から $5$ を引きます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.11

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

ステップ 3.3.13

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

ステップ 3.3.14

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 4.2

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

ステップ 4.3

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

ステップ 4.4

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 4.6

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 5

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

ステップ 6.1.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

ステップ 6.2

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 5 \cdot - 1$

ステップ 6.3

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$5$

微分積分 例

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