微分積分例

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x^{2} - 2}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 11

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 13

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 15.2

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 15.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 16

$4$ と $\frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 ((x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3

分子を簡約します。

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ステップ 17.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{4 (x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.2

$x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.3.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.5

$- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.6

$4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ を掛けます。

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ステップ 17.3.1.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.6.2

$- 4$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.1.8

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.3.2

$2 x^{\frac{3}{2}}$ から $8 x^{\frac{3}{2}}$ を引きます。

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4

分子を簡約します。

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ステップ 17.4.1

$- 2$ を $- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

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ステップ 17.4.1.1

$- 2$ を $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.1.2

$- 2$ を $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.1.3

$- 2$ を $- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.3

$- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 17.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.3.2

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.4

$3 x^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- 2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.6

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- 2 \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.5

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.5

$- 2$ と $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 17.8

$\frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ に $\frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.9

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例