微分積分例

$\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 18 x^{2}$

ステップ 1

$\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 18 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 18 x^{2}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{6} x^{4} + x^{3} - 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 18 (2 x)$

ステップ 2.1.1.4.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 36 x$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.3

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.5

$\frac{6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.6

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.6.1

$3$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.4

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{2} + 6 x - 36$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x^{2} + 6 x - 36$ です。

$2 x^{2} + 6 x - 36$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2 x^{2} + 6 x - 36$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) - 36 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 18 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (3 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 18 = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$2$ を $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 18$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 3 x - 18) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $3$ です。

$- 3, 6$

ステップ 2.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x - 3) (x + 6)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 3) (x + 6) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.2.5

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.2.6

最終解は $2 (x - 3) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 6$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f'' (- 8) = 2 {(- 8)}^{2} + 6 (- 8) - 36$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 8) = 2 \cdot 64 + 6 (- 8) - 36$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $64$ をかけます。

$f'' (- 8) = 128 + 6 (- 8) - 36$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 8) = 128 - 48 - 36$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$128$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 8) = 80 - 36$

ステップ 5.2.2.2

$80$ から $36$ を引きます。

$f'' (- 8) = 44$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $44$ です。

$44$

ステップ 5.3

$f'' (- 8)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 6)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 6)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 6, 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 2 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 2 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 - 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 - 36$

ステップ 6.2.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$f'' (0) = - 36$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 36$ です。

$- 36$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 6, 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 6, 3)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 2 {(6)}^{2} + 6 (6) - 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = 2 \cdot 36 + 6 (6) - 36$

ステップ 7.2.1.2

$2$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = 72 + 6 (6) - 36$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 72 + 36 - 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$72$ と $36$ をたし算します。

$f'' (6) = 108 - 36$

ステップ 7.2.2.2

$108$ から $36$ を引きます。

$f'' (6) = 72$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $72$ です。

$72$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(3, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 6)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 6, 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例