微分積分例

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ の各項を $(1 + e^{x}) y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ の各項を $(1 + e^{x}) y$ で割ります。

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$1 + e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$y$ を $(1 + e^{x}) y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + e^{x}$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 2.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{x}$

ステップ 2.3.1.1.4

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $1 + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ を簡約します。

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

微分積分 例

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