微分積分例

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 3)}$

ステップ 1

$f (x) = x + 4$ および $g (x) = (x - 1) (x + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.8.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + x + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x - 1 + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.8.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積の法則を $(x - 1) (x + 3)$ に当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 4) (2 x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x + 2) - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.1.6

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5.2

$- 2 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 2 x - 3 - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$2 x$ から $10 x$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 3 - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$- 3$ から $8$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - (8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - (8 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- (x^{2} + 8 x + 11)$ を $- 1 (x^{2} + 8 x + 11)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} + 8 x + 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例