微分積分例

$1 - \arctan (e^{t})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $1 - \arctan (e^{t})$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ です。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

ステップ 1.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \arctan (e^{t})$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ です。

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

ステップ 2.2

$f (t) = \arctan (t)$ および $g (t) = e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{t}$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $e^{t}$ で置き換えます。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

ステップ 2.4

${(e^{t})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

ステップ 2.4.2

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

ステップ 2.5

$\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

ステップ 3

$0$ から $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ を引きます。

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

微分積分 例