微分積分例

$3 y^{3} = - 3 + 3 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 + 3 x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$9 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $- 3 + 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 (2 x)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$0 + 6 x$

ステップ 3.3

$0$ と $6 x$ をたし算します。

$6 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$9 y^{2} y' = 6 x$

ステップ 5

$9 y^{2} y' = 6 x$ の各項を $9 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$9 y^{2} y' = 6 x$ の各項を $9 y^{2}$ で割ります。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

ステップ 5.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (2 x)}{9 y^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.1

$3$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

ステップ 5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

ステップ 5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

微分積分 例

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