微分積分例

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

ステップ 7

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 7.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 7.2

$u = 5 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

ステップ 7.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$u_{lower} = - 15$

ステップ 7.4

$u = 5 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

ステップ 7.5

$5$ に $5$ をかけます。

$u_{upper} = 25$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

ステップ 11

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$5$ および $- 3$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

ステップ 11.2

$25$ および $- 15$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$5$ を $3$ 乗します。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.3

$- 27$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

$3$ を $- 27$ で因数分解します。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.3.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.3.2.4

$- 9$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.5

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.6

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.7

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.8.1

$9$ に $3$ をかけます。

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.8.2

$125$ と $27$ をたし算します。

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.9

$5$ と $\frac{152}{3}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.10

$5$ に $152$ をかけます。

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

ステップ 11.3.11

$- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.3.12

$- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

ステップ 11.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

ステップ 11.3.14

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

ステップ 11.3.15

$- 3$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

ステップ 11.3.16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

10進法形式：

$- 14400979614.1438$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例