微分積分例

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

積の法則を $\frac{i}{n}$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

ステップ 1.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

ステップ 1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

ステップ 1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 1.3

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

ステップ 2

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$n$ を $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ で因数分解します。

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

ステップ 4.2

$\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ と $n$ をまとめます。

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 4.3

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 4.4

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

ステップ 4.7

分母を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

ステップ 4.7.2

因数分解した形で $n^{2} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 4.7.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

ステップ 4.7.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = n$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$

微分積分 例

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