微分積分例

$\ln (2 e^{t} - 1)$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 2 e^{t} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 e^{t} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 e^{t} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 e^{t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 2.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 e^{t}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$2 e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

ステップ 4.2.2

$2$ と $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

ステップ 4.2.3

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$

微分積分 例