微分積分例

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

ステップ 1.3.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 1.3.1.4

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

ステップ 1.3.1.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

ステップ 1.3.3.2

$- 5$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

ステップ 1.3.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x + 3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.3.6

$e^{x + 3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.5

$e^{x + 3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (- 5 - 2 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

ステップ 3.7

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - 5 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 - 2 x$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

ステップ 3.7.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

ステップ 3.7.3

$u$ のすべての発生を $- 5 - 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

ステップ 3.8

$\frac{1}{- 5 - 2 x}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

ステップ 3.9

総和則では、 $- 5 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

ステップ 3.10

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

ステップ 3.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.12

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.13

$- 2$ と $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.14

$- 2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.15

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

ステップ 3.17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

ステップ 3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

ステップ 3.18.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

ステップ 3.18.3

$- 1$ を $- 1 (5) - (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

ステップ 3.18.4

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

ステップ 3.18.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

ステップ 3.18.6

$\frac{6}{5 + 2 x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

ステップ 5

$e^{x + 3}$ と $\frac{5 + 2 x}{6}$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

ステップ 7

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

ステップ 8

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

ステップ 9

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

ステップ 10

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

ステップ 11

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

ステップ 12

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

ステップ 13

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

ステップ 14

すべての $x$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 14.1

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

ステップ 14.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

ステップ 15

答えを簡約します。

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ステップ 15.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

ステップ 15.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

ステップ 15.3

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

ステップ 15.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

ステップ 15.5

$5$ から $6$ を引きます。

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

ステップ 15.6

$\frac{1}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{6}$

ステップ 15.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6}$

微分積分 例

微分積分例