微分積分例

$\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

ステップ 1

$\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{15} x^{6}$ の微分係数は $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.3

$6$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{6}{15}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5

$6$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$3$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\frac{25}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{25}{6} x^{4}$ の微分係数は $\frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.4.3

$4$ と $\frac{25}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 25}{6} x^{3}$

ステップ 2.1.4.4

$4$ に $25$ をかけます。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100}{6} x^{3}$

ステップ 2.1.4.5

$\frac{100}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100 x^{3}}{6}$

ステップ 2.1.4.6

$100$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.1

$2$ を $100 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{6}$

ステップ 2.1.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 (3)}$

ステップ 2.1.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.1.4.6.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{5}}{5}$ の微分係数は $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$5$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.4

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.5

$\frac{10}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.6

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$5$ を $10 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.6.2.4

$2 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\frac{50}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{50 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} (3 x^{2})$

ステップ 2.2.4.3

$3$ と $\frac{50}{3}$ をまとめます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 50}{3} x^{2}$

ステップ 2.2.4.4

$3$ に $50$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150}{3} x^{2}$

ステップ 2.2.4.5

$\frac{150}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150 x^{2}}{3}$

ステップ 2.2.4.6

$150$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.6.1

$3$ を $150 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3}$

ステップ 2.2.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 (1)}$

ステップ 2.2.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.6.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50 x^{2}}{1}$

ステップ 2.2.4.6.2.4

$50 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$2 x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 50 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.3

$2 x^{2}$ を $50 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$2 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

${(x + 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(x + 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について ${(x + 5)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 3.6

最終解は $2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 5$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{15}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.5

$\frac{25}{6}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 5$ を $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot {(- 5)}^{6} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 5$ を $6$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{1}{5 (3)} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$5$ を $15625$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 5) = \frac{1}{3} \cdot 3125 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3125$ をまとめます。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 5$ を $5$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 5$ を $4$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot 625$

ステップ 4.3.2.1.6

$\frac{25}{6} \cdot 625$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1

$\frac{25}{6}$ と $625$ をまとめます。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25 \cdot 625}{6}$

ステップ 4.3.2.1.6.2

$25$ に $625$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$\frac{3125}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125}{3} \cdot \frac{2}{2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{3125}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 3125$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.4

$\frac{- 3125}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.5

$\frac{- 3125}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.6

$3 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{6} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

ステップ 4.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$3125$ に $2$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{6250 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

ステップ 4.3.2.4.2

$- 3125$ に $6$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{6250 - 18750 + 15625}{6}$

ステップ 4.3.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$6250$ から $18750$ を引きます。

$f (- 5) = \frac{- 12500 + 15625}{6}$

ステップ 4.3.2.5.2

$- 12500$ と $15625$ をたし算します。

$f (- 5) = \frac{3125}{6}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\frac{3125}{6}$ です。

$\frac{3125}{6}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ で代入して $- 5$ 求めた点は、 $(- 5, \frac{3125}{6})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 5, \frac{3125}{6})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 5, \frac{3125}{6})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 5)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 5.1$ で置換えます。

$f'' (- 5.1) = 2 {(- 5.1)}^{4} + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 5.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = 2 \cdot 676.5201 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $676.5201$ をかけます。

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 5.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 \cdot - 132.651 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$20$ に $- 132.651$ をかけます。

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$- 5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 \cdot 26.01$

ステップ 6.2.1.6

$50$ に $26.01$ をかけます。

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 1300.5$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1353.0402$ から $2653.02$ を引きます。

$f'' (- 5.1) = - 1299.9798 + 1300.5$

ステップ 6.2.2.2

$- 1299.9798$ と $1300.5$ をたし算します。

$f'' (- 5.1) = 0.5202$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.5202$ です。

$0.5202$

ステップ 6.3

$- 5.1$ で二次導関数は $0.5202$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 5)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 5)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 5, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{5}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 {(- \frac{5}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$\frac{5^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$5$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{16}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.6.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 (8)}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 \cdot 8}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.7.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.9

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.11.1

$- \frac{125}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.2

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 (5) (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.4

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.5

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 5 (\frac{- 125}{2}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.12

$5$ と $\frac{- 125}{2}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{5 \cdot - 125}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.13

$5$ に $- 125$ をかけます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.15

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.15.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})$

ステップ 7.2.1.15.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.16

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.17

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

ステップ 7.2.1.18

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{2^{2}})$

ステップ 7.2.1.19

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{4})$

ステップ 7.2.1.20

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.20.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 (25) (\frac{25}{4})$

ステップ 7.2.1.20.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

ステップ 7.2.1.20.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

ステップ 7.2.1.20.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 25 (\frac{25}{2})$

ステップ 7.2.1.21

$25$ と $\frac{25}{2}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{25 \cdot 25}{2}$

ステップ 7.2.1.22

$25$ に $25$ をかけます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{625}{2}$

ステップ 7.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625 + 625}{2}$

ステップ 7.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$- 625$ と $625$ をたし算します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.2.2.2

$0$ を $2$ で割ります。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 0$

ステップ 7.2.2.2.3

$\frac{625}{8}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{625}{8}$ です。

$\frac{625}{8}$

ステップ 7.3

$- \frac{5}{2}$ で二次導関数は $78.125$ です。これは正の値なので、 $(- 5, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 5, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 \cdot 0.001 + 50 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$20$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 \cdot 0.01$

ステップ 8.2.1.6

$50$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 0.5$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.0002$ と $0.02$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.0202 + 0.5$

ステップ 8.2.2.2

$0.0202$ と $0.5$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.5202$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.5202$ です。

$0.5202$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $0.5202$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。この条件を満たす点は、グラフ上に存在しません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例