微分積分例

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

ステップ 3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

ステップ 7

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - - 5$

ステップ 7.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$u_{lower} = 5$

ステップ 7.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 7.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

ステップ 9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $- 5$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

ステップ 11.2

$- 1$ および $5$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.3

公分母の分子をまとめます。

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.4

$1$ から $25$ を引きます。

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.5

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.5.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.5.2.3

式を書き換えます。

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.5.2.4

$- 12$ を $1$ で割ります。

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

ステップ 11.3.6

$- 5$ に $- 12$ をかけます。

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

ステップ 12.3

$- 4$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

ステップ 12.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

10進法形式：

$652.18111864 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例