微分積分例

$y = 3 \sqrt{2 x^{2} - x - 4}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x^{2} - x - 4}$ を ${(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = 3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x^{2} - x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{2} - x - 4$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} - x - 4$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{{(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

ステップ 4.7.4

$\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4]$

ステップ 4.8

総和則では、 $2 x^{2} - x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.15

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + 0)$

ステップ 4.16

$4 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$

ステップ 4.17

簡約します。

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ステップ 4.17.1

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$(4 x - 1) \frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.2

$4 x - 1$ に $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.3

$3$ を $4 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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