微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.3.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.2.3.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

ステップ 1.3.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

ステップ 1.3.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

ステップ 1.3.1.5

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

ステップ 1.3.3.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

ステップ 1.3.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (3 x + 4)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 4$ とします。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{3 x + 4}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.10

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.11

$\frac{3}{3 x + 4}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.12

$3$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.13

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \tan (2 x + 2)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

ステップ 3.14

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 2$ とします。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

ステップ 3.14.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

ステップ 3.14.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

ステップ 3.15

括弧を削除します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

ステップ 3.16

総和則では、 $2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

ステップ 3.17

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

ステップ 3.18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

ステップ 3.19

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

ステップ 3.20

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

ステップ 3.21

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

ステップ 3.22

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{9}{3 x + 4}$ に $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 5.2

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ を $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 6

$\frac{3}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 7

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 8

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

ステップ 9

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 10

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 11

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 12

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

ステップ 13

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x + 2)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

ステップ 14

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

ステップ 15

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

ステップ 16

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

ステップ 17

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

ステップ 18

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 18.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

ステップ 18.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

ステップ 19

答えを簡約します。

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ステップ 19.1

まとめる。

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

ステップ 19.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

ステップ 19.3

分母を簡約します。

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ステップ 19.3.1

指数をまとめます。

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ステップ 19.3.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

ステップ 19.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

ステップ 19.3.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

ステップ 19.3.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

ステップ 19.3.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

ステップ 19.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

ステップ 19.3.6

指数をまとめます。

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ステップ 19.3.6.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

ステップ 19.3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2}$

微分積分 例

微分積分例