微分積分例

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

ステップ 1

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$e^{2 - 5 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

ステップ 4.2.2

$e^{- 2 + 5 x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

ステップ 5

$u = - 2 + 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 2 + 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 2 + 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

ステップ 5.1.2

微分します。

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ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $- 2 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 5.1.2.2

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$0 + 5$

ステップ 5.1.4

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $- 2 + 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

微分積分 例

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