微分積分例

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(t + 1)}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(t + 1)}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t + 1$ とします。

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 3.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

ステップ 3.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

ステップ 3.5.2

$t + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$t + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$t + 1$ を ${(t + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{t + 1}$

微分積分 例

微分積分例