微分積分例

$x^{3} - y^{3} = y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

ステップ 2.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$- 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 3 y^{2} y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 3 y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1 (1)}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- (3 y^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2} + 1)}$

ステップ 5.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.5.1

$- (3 y^{2} + 1)$ を $- 1 (3 y^{2} + 1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y^{2} + 1)}$

ステップ 5.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

ステップ 5.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

ステップ 5.4.3.5.4

$\frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

微分積分 例

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