微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 2.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 2.1.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (0)}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 5.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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