微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\sin (3 x) - \tan (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.6

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 1 \cdot 2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{1}$

ステップ 2.4

$3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

ステップ 3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

ステップ 3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

ステップ 3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

ステップ 3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x))$

ステップ 3.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2})$

ステップ 3.7

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

ステップ 3.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

ステップ 5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

ステップ 5.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

ステップ 5.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (0))$

ステップ 5.1.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1^{2})$

ステップ 5.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1)$

ステップ 5.1.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (3 - 2)$

ステップ 5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{5}$

10進法形式：

$0.2$

微分積分 例

微分積分例