微分積分例

$(x - 1) \sqrt{x}$

ステップ 1

$(x - 1) \sqrt{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

$(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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