微分積分例

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} - 3$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 1.1.3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ です。

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(x + 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.3.4

最終解は $(x + 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2}{1}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{6}{- 3 + 2}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2.2

$6$ を $- 1$ で割ります。

$- 6$

ステップ 4.3

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

ステップ 5

微分積分 例

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