微分積分例

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = x^{4} + 2 x^{2}$ とします。次に $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{4} + 2 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{4} + 2 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 2 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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