微分積分例

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

ステップ 1

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

ステップ 6

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} \int x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

ステップ 8

$- \frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{4}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} \int x^{3} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.2

$\frac{x^{4}}{4}$ に $\frac{4}{5}$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 \cdot 5} + C$

ステップ 10.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{20} + C$

ステップ 10.2.4

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 \cdot x^{4}}{20} + C$

ステップ 10.2.5

$4$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.1

$4$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 (x^{4})}{20} + C$

ステップ 10.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

ステップ 10.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

ステップ 10.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4}}{5} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

微分積分 例

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