微分積分例

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.3.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

ステップ 3.3.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

ステップ 3.3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.5.2

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

ステップ 3.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

ステップ 3.3.7

$\frac{2}{x^{2} + 4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

微分積分 例

微分積分例