微分積分例

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ ?

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x^{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.8

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$6$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

ステップ 1.5.2.2

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6}{x^{4}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.8

$- 4$ に $6$ をかけます。

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- 24$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2.3

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

ステップ 3.2.3

$3$ に $20$ をかけます。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{24}{x^{5}}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.3.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

ステップ 3.3.5

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

ステップ 3.3.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

ステップ 3.3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

ステップ 3.3.7

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

ステップ 3.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

ステップ 3.3.7.3

$4$ から $10$ を引きます。

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

ステップ 3.3.8

$- 5$ に $- 24$ をかけます。

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2

$120$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x^{2}$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

ステップ 4.2.3

$2$ に $60$ をかけます。

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{120}{x^{6}}$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ です。

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x^{6}}$ を ${(x^{6})}^{- 1}$ に書き換えます。

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6}$ とします。

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{6}$ で置き換えます。

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.3.4

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

ステップ 4.3.5

${(x^{6})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

ステップ 4.3.5.2

$6$ に $- 2$ をかけます。

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

ステップ 4.3.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

ステップ 4.3.7

指数を足して $x^{- 12}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$x^{5}$ を移動させます。

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

ステップ 4.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

ステップ 4.3.7.3

$5$ から $12$ を引きます。

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

ステップ 4.3.8

$- 6$ に $120$ をかけます。

$120 x - 720 x^{- 7}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 720$ と $\frac{1}{x^{7}}$ をまとめます。

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ です。

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$

微分積分 例

微分積分例