微分積分例

$3 x^{2} \sqrt{5 x + 3}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x + 3}$ を ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + 3$ とします。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x + 3$ で置き換えます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (x^{2} (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 9

総和則では、 $5 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 12

$5$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 13

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $5$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{2} \cdot 5}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14.3

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$3 (\frac{5 \cdot x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

ステップ 16

$2$ を ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x)$

ステップ 17

公分母を利用して $\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x$ を組み合わせます。

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ステップ 17.1

${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 17.2

$2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 17.3

$2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 17.4

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{5 x^{2} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

$2$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

指数を足して ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 19.1

${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{1}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

$4 x {(5 x + 3)}^{1}$ を簡約します。

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

$3$ と $\frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x + 3))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 x^{2}) + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

分子を簡約します。

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ステップ 22.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 22.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 22.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 (x \cdot x) \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x^{2} \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.3

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 3 (20 x^{2}) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.4

$20$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.5

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (12 x)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.1.6

$12$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.2

$15 x^{2}$ と $60 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{75 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

$3 x$ を $75 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 22.4.1

$3 x$ を $75 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x (25 x) + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2

$3 x$ を $36 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x (25 x) + 3 x (12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.3

$3 x$ を $3 x (25 x) + 3 x (12)$ で因数分解します。

$\frac{3 x (25 x + 12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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