微分積分例

$\cos (2 x + 3 y^{3}) = 3 y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (2 x + 3 y^{3})) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x + 3 y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x + 3 y^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 3 y^{3}$ で置き換えます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 x + 3 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ です。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

ステップ 2.2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

書き換えます。

$0 + 0 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5.1.1.2

0を加えて簡約します。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \cdot 2 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5.1.1.4

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5.1.1.4.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y') = 6 y y'$

ステップ 5.1.1.4.3

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y')$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) = 6 y y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $6 y y'$ を引きます。

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ を足します。

$- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

ステップ 5.4

$3 y y'$ を $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$3 y y'$ を $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3})$ で因数分解します。

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

ステップ 5.4.2

$3 y y'$ を $- 6 y y'$ で因数分解します。

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2 = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

ステップ 5.4.3

$3 y y'$ を $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

ステップ 5.5

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ の各項を $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ の各項を $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ で割ります。

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2.3

$- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$- 1$ を $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 2)}$

ステップ 5.5.3.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2))}$

ステップ 5.5.3.3

$- 1$ を $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

ステップ 5.5.3.4

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.5.3.4.1

$- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ を $- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

ステップ 5.5.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

ステップ 5.5.3.4.3

$- \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

微分積分 例

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