微分積分例

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 8.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 8.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 8.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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