微分積分例

$y = x \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = x$ および $g (y) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + \ln (x) x'$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$\ln (x) x' + x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \ln (x) x' + x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\ln (x) x' + x' = 1$ として書き換えます。

$\ln (x) x' + x' = 1$

ステップ 5.2

$\ln (x) x' + x'$ の因数を並べ替えます。

$x' \ln (x) + x' = 1$

ステップ 5.3

$x'$ を $x' \ln (x) + x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x'$ を $x' \ln (x)$ で因数分解します。

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $1$ 乗します。

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

ステップ 5.3.3

$x'$ を ${x'}^{1}$ で因数分解します。

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

ステップ 5.3.4

$x'$ を $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ で因数分解します。

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

ステップ 5.4

$x' (\ln (x) + 1) = 1$ の各項を $\ln (x) + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' (\ln (x) + 1) = 1$ の各項を $\ln (x) + 1$ で割ります。

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$\ln (x) + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

微分積分 例

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