微分積分例

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

ステップ 1

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 10

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2.2

$- 3$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.1

$3$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

ステップ 12.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

ステップ 12.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

ステップ 12.2.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

ステップ 12.2.3.2.4

$- x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

微分積分 例

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