微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.3.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.2.3.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 1.3.1.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 5}$

ステップ 1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (3 x - 2)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 2$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{3 x - 2}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.9

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.10

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.11

$\frac{3}{3 x - 2}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.12

$3$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 3.13

総和則では、 $5 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 3.14

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.14.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 3.14.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 3.14.3

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 3.15

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + 0}$

ステップ 3.16

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{9}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{9}{3 x - 2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{9}{(3 x - 2) \cdot 5}$

ステップ 5.2

$\frac{9}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{9}{5} lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 2}$

ステップ 5.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

ステップ 5.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

ステップ 5.5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2}$

ステップ 5.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

ステップ 5.7

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 6

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 2}$

ステップ 7.1.3

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{9}{5} \cdot 1$

ステップ 7.3

$\frac{9}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{5}$

微分積分 例

微分積分例