微分積分例

$\tan^{2} (2 x)$

ステップ 1

$\tan^{2} (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$\tan^{2} (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (u)$ を $- 1 + \sec^{2} (u)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 10

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

ステップ 13.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

ステップ 13.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

ステップ 13.3.3

式を書き換えます。

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

ステップ 13.4

$\frac{1}{2}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

微分積分 例

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