微分積分例

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

ステップ 1

$- 11$ の項は $r$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

ステップ 2

$\frac{r}{3}$ と $\ln (\frac{r}{3})$ をまとめます。

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ の項は $r$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

ステップ 4

$r \ln (\frac{r}{3})$ を $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ に書き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

ステップ 5.1.2

$r$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (\frac{r}{3})$ は境界がなく減少します。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

ステップ 5.1.3

$r$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{r}$ は無限大に近づきます。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.2

$f (r) = \ln (r)$ および $g (r) = \frac{r}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{r}{3}$ とします。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{r}{3}$ で置き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{r}{3}$ で割ります。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{3}{r}$ に $1$ をかけます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.5

$\frac{1}{3}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $\frac{r}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ です。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.6

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{r}$ をかけます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.9

$\frac{1}{r}$ に $1$ をかけます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

ステップ 5.3.10

$\frac{1}{r}$ を $r^{- 1}$ に書き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

ステップ 5.3.11

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

ステップ 5.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

ステップ 5.5

$\frac{1}{r}$ と $r^{2}$ をまとめます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

ステップ 5.6

$r^{2}$ と $r$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$r$ を $r^{2}$ で因数分解します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

$r$ を $1$ 乗します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

ステップ 5.6.2.2

$r$ を $r^{1}$ で因数分解します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

ステップ 5.6.2.3

共通因数を約分します。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

ステップ 5.6.2.4

式を書き換えます。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

ステップ 5.6.2.5

$r$ を $1$ で割ります。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

極限を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ の項は $r$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

ステップ 6.1.2

$r$ を $0$ に代入し、 $r$ の極限値を求めます。

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

ステップ 6.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 11$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

ステップ 6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

ステップ 6.2.3

$- \frac{11}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{11}{3})$

ステップ 6.2.3.2

$0$ に $\frac{11}{3}$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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