微分積分例

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

ステップ 1

$u = x + \sin (x)$ とします。次に $d u = (1 + \cos (x)) d x$ すると、 $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$1 + \cos (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $x + \sin (x)$ で置き換えます。

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$

微分積分 例