微分積分例

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

ステップ 1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

ステップ 2

$u = 7 - 4 x^{3}$ とします。次に $d u = - 12 x^{2} d x$ すると、 $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 7 - 4 x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$7 - 4 x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $7 - 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$0 - 12 x^{2}$

ステップ 2.1.4

$0$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$- 12 x^{2}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

ステップ 3.2

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{1}{12}$ と $- 16$ をまとめます。

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.1.2

$- 16$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ を $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.4

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.4.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $7 - 4 x^{3}$ で置き換えます。

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

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