微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{2}$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $28$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [18]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $18$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

ステップ 1.5.2

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (56 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [56 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$56$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $56 x$ の微分係数は $56 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$56$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 (\frac{1}{2}) \cdot x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{2}$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $28$ をかけます。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (18)$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $18$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ です。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 2 x$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) + 56 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 2 x$ を $56 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x (- 28)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 3 x - 28) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 28$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 28$ で、その和が $- 3$ です。

$- 7, 4$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 x ((x - 7) (x + 4)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 5.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.7

最終解は $- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7, - 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 7, - 4$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(0)}^{2} + 12 (0) + 56$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 6 \cdot 0 + 12 (0) + 56$

ステップ 9.1.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 12 (0) + 56$

ステップ 9.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 56$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 56$

ステップ 9.2.2

$0$ と $56$ をたし算します。

$56$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 11.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + 28 \cdot 0 + 18$

ステップ 11.2.1.6

$28$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 18$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 18$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 18$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $18$ をたし算します。

$f (0) = 18$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $18$ です。

$y = 18$

ステップ 12

$x = 7$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(7)}^{2} + 12 (7) + 56$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$- 6 \cdot 49 + 12 (7) + 56$

ステップ 13.1.2

$- 6$ に $49$ をかけます。

$- 294 + 12 (7) + 56$

ステップ 13.1.3

$12$ に $7$ をかけます。

$- 294 + 84 + 56$

ステップ 13.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 294$ と $84$ をたし算します。

$- 210 + 56$

ステップ 13.2.2

$- 210$ と $56$ をたし算します。

$- 154$

ステップ 14

$x = 7$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 7$ は極大値です

ステップ 15

$x = 7$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot {(7)}^{4} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$7$ を $4$ 乗します。

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot 2401 + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 2401$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$2401$ に $- 1$ をかけます。

$f (7) = - 2401 (\frac{1}{2}) + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.2.2

$- 2401$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (7) = \frac{- 2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.4

$7$ を $3$ 乗します。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 \cdot 343 + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.5

$2$ に $343$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 {(7)}^{2} + 18$

ステップ 15.2.1.6

$7$ を $2$ 乗します。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 \cdot 49 + 18$

ステップ 15.2.1.7

$28$ に $49$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 1372 + 18$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$686$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} + 1372 + 18$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{686}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1372 + 18$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{686}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + 1372 + 18$

ステップ 15.2.2.4

$1372$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} + 18$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{1372}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} \cdot \frac{2}{2} + 18$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{1372}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + 18$

ステップ 15.2.2.7

$18$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1}$

ステップ 15.2.2.8

$\frac{18}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 15.2.2.9

$\frac{18}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (7) = \frac{- 2401 + 686 \cdot 2 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$686$ に $2$ をかけます。

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4.2

$1372$ に $2$ をかけます。

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4.3

$18$ に $2$ をかけます。

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 36}{2}$

ステップ 15.2.5

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 2401$ と $1372$ をたし算します。

$f (7) = \frac{- 1029 + 2744 + 36}{2}$

ステップ 15.2.5.2

$- 1029$ と $2744$ をたし算します。

$f (7) = \frac{1715 + 36}{2}$

ステップ 15.2.5.3

$1715$ と $36$ をたし算します。

$f (7) = \frac{1751}{2}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{1751}{2}$ です。

$y = \frac{1751}{2}$

ステップ 16

$x = - 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 56$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 6 \cdot 16 + 12 (- 4) + 56$

ステップ 17.1.2

$- 6$ に $16$ をかけます。

$- 96 + 12 (- 4) + 56$

ステップ 17.1.3

$12$ に $- 4$ をかけます。

$- 96 - 48 + 56$

ステップ 17.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$- 96$ から $48$ を引きます。

$- 144 + 56$

ステップ 17.2.2

$- 144$ と $56$ をたし算します。

$- 88$

ステップ 18

$x = - 4$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 4$ は極大値です

ステップ 19

$x = - 4$ のときy値を求めます。

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ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.2.2

$2$ を $256$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 4) = - 1 \cdot 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ に $128$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.4

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = - 128 + 2 \cdot - 64 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.5

$2$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

ステップ 19.2.1.6

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 \cdot 16 + 18$

ステップ 19.2.1.7

$28$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 - 128 + 448 + 18$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 128$ から $128$ を引きます。

$f (- 4) = - 256 + 448 + 18$

ステップ 19.2.2.2

$- 256$ と $448$ をたし算します。

$f (- 4) = 192 + 18$

ステップ 19.2.2.3

$192$ と $18$ をたし算します。

$f (- 4) = 210$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $210$ です。

$y = 210$

ステップ 20

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ の極値です。

$(0, 18)$ は極小値です

$(7, \frac{1751}{2})$ は極大値です

$(- 4, 210)$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例