微分積分例

$y = x \ln (x) - x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x \ln (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.4

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.5.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2.6

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \ln (x) - 1$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + \ln (x)$

ステップ 3.4.2

$0$ と $\ln (x)$ をたし算します。

$\ln (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \ln (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$

微分積分 例

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