微分積分例

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} - 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2} - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 - 1$

ステップ 1.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ および $0$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $3^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

指数を足して $3^{\frac{3}{2}}$ に $3^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

$3^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 6.2.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

ステップ 6.2.8

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.2.9

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

ステップ 6.2.10

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.11

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.12

$\frac{2}{2}$ と $3^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 6.2.13

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 6.2.14

$3^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$3^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3^{\frac{1}{2}}$

10進法形式：

$1.73205080 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例