微分積分例

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4 y y'$ と $0$ をたし算します。

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ を $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $4 y y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$u = y$ とします。 $u$ を $y$ に代入します。

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5

群による因数分解。

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ステップ 5.5.1

項を並べ替えます。

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.5.2.1

$4$ を $4 u$ で因数分解します。

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.2.2

$4$ を $1$ プラス $3$ に書き換える

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.5.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5.4

最大公約数 $- 3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.6

因数分解。

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ステップ 5.6.1

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.6.2

不要な括弧を削除します。

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.7

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ の各項を $(- 3 y + 1) (y - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ の各項を $(- 3 y + 1) (y - 1)$ で割ります。

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$- 3 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.2.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.2

$- 1$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.4

$- 1$ を $- (3 y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.7.3.5.1

$- (3 y - 1)$ を $- 1 (3 y - 1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

ステップ 5.7.3.5.4

$\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

微分積分 例

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