微分積分例

$y = {(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = {(x^{3} + 1)}^{5}$ および $g (x) = \cos (4 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(x^{3} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [\cos (4 x^{3})] + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x^{3}$ とします。

${(x^{3} + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x^{3}$ で置き換えます。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3.4

$3$ に $- 4$ をかけます。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3} + 1$ とします。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

ステップ 3.4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3} + 1$ で置き換えます。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0))$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (15 {(x^{3} + 1)}^{4} x^{2})$

ステップ 3.5.4.3

項を並べ替えます。

$- 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

微分積分 例

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