微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{3 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sqrt{3} \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t) \sqrt{3}$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{1} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.1.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $\sqrt{3} \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {\sqrt{3}}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{1} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.1.3.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.3

$3$ を $3 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.4

$3$ を $3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1 + \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.5

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.7

$3$ と $\sec^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 3} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec (t) \sqrt{3}) (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

ステップ 2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

ステップ 2.2.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) d t$

ステップ 2.2.5

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) d t$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{2} d t$

ステップ 2.2.8

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

ステップ 2.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 2.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 2.2.8.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{1} d t$

ステップ 2.2.8.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3 d t$

ステップ 2.2.9

$3$ を ${(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3 {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

ステップ 3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積の法則を $\sqrt{3} \tan (t)$ に当てはめます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sqrt{3}}^{3} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{3^{3}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 4.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{27} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 5

$\sqrt{27}$ は $t$ に対して定数なので、 $\sqrt{27}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 6

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 8.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 8.2

$u = \sec (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 8.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 8.4

$u = \sec (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{6})$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.5.2

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 8.5.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 8.5.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 8.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 8.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 8.5.3.6.5

指数を求めます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 9

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 10.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 10.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$3 \sqrt{27} (\int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 \sqrt{27} (- \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

ステップ 13

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

ステップ 14

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

ステップ 15

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

ステップ 16

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

ステップ 17

代入し簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ および $1$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$3 \sqrt{27} (- ((\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

ステップ 17.2

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ および $1$ で $\frac{u^{5}}{5}$ の値を求めます。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 17.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 17.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 17.3.3

$- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 17.3.4

$- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 17.3.5

公分母の分子をまとめます。

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 17.3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$3 \sqrt{27} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$3 \sqrt{9 (3)} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 18.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$3 \sqrt{3^{2} \cdot 3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 18.2

累乗根の下から項を取り出します。

$3 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 18.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 \sqrt{3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

公分母の分子をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.2.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.3

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.5

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.2.5.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.6

累乗根の下から項を取り出します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.2.7

$8$ に $3$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.4

$24$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.4.1

$3$ を $24 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.4.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.3

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.1

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.1.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{27} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.2

分配則を当てはめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.3

$- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1

$- 5$ と $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$ をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 5 (8 \sqrt{3})}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.3.2

$8$ に $- 5$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.4

$- 5 (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + 5 (\frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.4.2

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

ステップ 19.2.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.6.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.6.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{2^{5} {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.7.1

$2$ を $5$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.2

${\sqrt{3}}^{5}$ を $\sqrt{3^{5}}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3^{5}}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.3

$3$ を $5$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{243}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.4

$243$ を $9^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.7.4.1

$81$ を $243$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{81 (3)}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.4.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.5

累乗根の下から項を取り出します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \cdot 9 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.7.6

$32$ に $9$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

ステップ 19.2.8

$3$ を $5$ 乗します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{243} - 1}{5}$

ステップ 19.2.9

$288$ と $243$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.9.1

$9$ を $288 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{243} - 1}{5}$

ステップ 19.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.9.2.1

$9$ を $243$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 (27)} - 1}{5}$

ステップ 19.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 \cdot 27} - 1}{5}$

ステップ 19.2.9.2.3

式を書き換えます。

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3}}{27} - 1}{5}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 40 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

ステップ 19.4

$- 40 \sqrt{3}$ と $32 \sqrt{3}$ をたし算します。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

ステップ 19.5

分数の前に負数を移動させます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 - \frac{8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

ステップ 19.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.8

公分母の分子をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.9.2

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.10.1

$\frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.10.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.10.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.10.2.2

$3$ に $9$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{27} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.10.3

公分母の分子をまとめます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.10.4

$2$ に $9$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

ステップ 19.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$9 \sqrt{3} (\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5})$

ステップ 19.12

$\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.12.1

$\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27 \cdot 5}$

ステップ 19.12.2

$27$ に $5$ をかけます。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

ステップ 19.13

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.13.1

$9$ を $9 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

ステップ 19.13.2

$9$ を $135$ で因数分解します。

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 (15)}$

ステップ 19.13.3

共通因数を約分します。

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 \cdot 15}$

ステップ 19.13.4

式を書き換えます。

$\sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$

ステップ 19.14

$\sqrt{3}$ と $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3} (18 - 8 \sqrt{3})}{15}$

ステップ 19.15

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 18 + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

ステップ 19.16

$18$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

ステップ 19.17

$\sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.17.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{15}$

ステップ 19.17.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{15}$

ステップ 19.17.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{15}$

ステップ 19.17.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{2}}{15}$

ステップ 19.18

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.18.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.18.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{15}$

ステップ 19.18.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{15}$

ステップ 19.18.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

ステップ 19.18.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.18.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

ステップ 19.18.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{1}}{15}$

ステップ 19.18.1.5

指数を求めます。

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3}{15}$

ステップ 19.18.2

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 \sqrt{3} - 24}{15}$

ステップ 19.19

$18 \sqrt{3} - 24$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.19.1

$3$ を $18 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) - 24}{15}$

ステップ 19.19.2

$3$ を $- 24$ で因数分解します。

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)}{15}$

ステップ 19.19.3

$3$ を $3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{15}$

ステップ 19.19.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.19.4.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 (5)}$

ステップ 19.19.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 \cdot 5}$

ステップ 19.19.4.3

式を書き換えます。

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

ステップ 20

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

10進法形式：

$0.47846096 \dots$

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例